Descripción

Este libro trata la didáctica de la matemática. Es decir, es un estudio en el que se habla y reflexiona sobre la educación y sobre las matemáticas. El objeto de esta reflexión lo constituye la didáctica de la matemática, sobre la reflexión teórica y la investigación en este campo, por ello también se habla sobre indagación sistemática y sobre método.Es así que se hacen distintas aproximaciones a fundamentación teórica y a la investigación en didáctica de la matemática, con un planteamiento ordenado y metódico. En unos casos ocupa temas estrictamente curriculares, centrados en el contenido matemático, como ocurre con el debate sobre conceptos y objetos matemáticos, el análisis de los registros de presentaciones o con el análisis de las dificultades cognitivas. En otros casos el foco está puesto sobre las tareas del docente y el diseño y gestión de los materiales curriculares, como en la reflexión sobre el triángulo didáctico o sobre la escolarización del saber.

 

Contenido

Prólogo. Colette Laborde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Carta. Guy Brousseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Presentación. Luis Rico Romero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Prefacio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capítulo 1
Introducción a la didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1. El sustantivo didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2. Los contenidos de la didáctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3. La didáctica de la matemática como arte . . . . . . . . . . . 50
1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica
de la matemática: didáctica A y didáctica B . . . . . . . . .
53
1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas . . . . . . . . . 55
1.6. Otros ejemplos de didáctica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.7. Límites de la didáctica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8. El “caso” de la versión escolar (ingenua) de la teoría
elemental de conjuntos y las primeras investigaciones
sobre la didáctica de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Capítulo 2
Didáctica de la matemática como epistemología del
aprendizaje matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1. Límites de la presente reseña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. Aún más sobre la terminología.
¿Por qué buscar una teoría? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.3. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática. . . . 81
2.4. Otras interpretaciones de
la didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5. Ulteriores posiciones actuales en la investigación
en didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.6. Educación matemática y didáctica de la matemática:
recientes desarrollos interpretativos . . . . . . . . . . . . . .
108
Capítulo 3
El contrato didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1. Nacimiento de los estudios sobre
el contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 113
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3. Más ejemplos y reflexiones acerca
del contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 123
3.4. Un ulterior ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5. Diferentes acercamientos a la idea
de contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 128
3.6. El contrato experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Capítulo 4
Conflictos. Misconcepciones. Modelos intuitivos.
Modelos parásitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1. Algunos ejemplos para introducir
las problemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 137
4.2. Ejemplos con multiplicación y división . . . . . . . . . . . 143
4.3. Ejemplos con suma y resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4. Conflictos “internos” y
conflictos “sociocognitivos”. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 153
Capítulo 5
Imágenes, modelos y esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1 Imágenes y modelos: terminología . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Una propuesta de terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3. Una investigación para buscar un acercamiento
a los modelos mentales de los estudiantes.
Modelos “externos” . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 169
5.4. Modelos adecuados y modelos formados . . . . . . . . . 174
5.5. Modelos normativos y modelos descriptivos . . . . . . 180
5.6. Aún sobre modelos mentales:
una interpretación cognitivista . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 182
5.7. Imágenes, representaciones mentales y modelos:
aún otra interpretación. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 186
5.8. Frame y script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.9. Modelos en el sentido de esquemas . . . . . . . . . . . . . 194
5.10. Mención de la teoría de los conceptos figurales . . . 199
Capítulo 6
Conceptos. Obstáculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.1. Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2. Los conceptos en la enseñanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3. El papel del lenguaje en el aprendizaje
y en la formulación de los conceptos . . . . . . . . . . . .
214
6.4. Las definiciones de concepto
y de esquema dadas por Vergnaud . . . . . . . . . . . . .
218
6.5. Introducción a los obstáculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6. Obstáculos y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Capítulo 7
El triángulo: maestro, estudiante, saber. Transposición didáctica.
Teoría de las situaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.1. El triángulo: maestro, estudiante, saber . . . . . . . . . . . 231
7.2. Transposición didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3. La teoría de las situaciones didácticas . . . . . . . . . . . . 243
Capítulo 8
Matemática, didáctica de la matemática y lenguajes . . . . . . . . . . 251
8.1. Matemática y lenguaje: una premisa . . . . . . . . . . . . . 251
8.2. Lenguaje y lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.3. El lenguaje de la matemática en el aula . . . . . . . . . . . 258
8.4. Lengua común y lenguaje de la matemática en
oposición entre ellos . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 262
8.5. Otros “lenguajes” para la matemática.
Pasaje entre registros diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Capítulo 9
Ejercicios, problemas, situaciones problemáticas . . . . . . . . . . . . . 293
9.1. Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2. Matemáticos, psicólogos, maestros y …
niños intervienen sobre “problemas”. . . . . . . . . . . . .
297
9.3. La actividad de resolución de problemas . . . . . . . . . 305
Apéndice: Problemas de rutina y situaciones “insólitas”.
El “caso” del volumen de la pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Capítulo 10
Estilo cognitivo y perfiles pedagógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.1. Cognición y conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.2. Perfiles pedagógicos, estilos cognitivos. . . . . . . . . . . 329
10.3. Reorganización cognitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Capítulo 11
Intuición y demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.1. Intuición: ¿qué es?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.2. Comencemos a hablar de demostración.
¿Demostración de qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
11.3. Una muy breve panorámica sobre algunas
investigaciones sobre el demostrar . . . . . . . . . . . . . .
346
11.4. Argumentar y demostrar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.5. Argumentar, explicar, demostrar etc.,
en didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
Capítulo 12
Campos conceptuales, campos de experiencia,
campos semánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.1. Campos conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.2. Campos de experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.3. Campos semánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373
Capítulo 13
Relaciones entre didáctica general y didáctica de la matemática.
Una posible conciliación de puntos de vista. . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.2. Problemas de existencia o de legitimidad . . . . . . . . . 380
13.3. Problemas de epistemología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
13.4. Problemas de formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Apostillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Apostilla 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Apostilla 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
El Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469Contenido
Prólogo. Colette Laborde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Carta. Guy Brousseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Presentación. Luis Rico Romero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Prefacio.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Capítulo 1
Introducción a la didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1. El sustantivo didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2. Los contenidos de la didáctica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3. La didáctica de la matemática como arte . . . . . . . . . . . 50
1.4. Dos modos diferentes de entender la didáctica
de la matemática: didáctica A y didáctica B . . . . . . . . .
53
1.5. Didáctica A, como divulgación de las ideas . . . . . . . . . 55
1.6. Otros ejemplos de didáctica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.7. Límites de la didáctica A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.8. El “caso” de la versión escolar (ingenua) de la teoría
elemental de conjuntos y las primeras investigaciones
sobre la didáctica de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Capítulo 2
Didáctica de la matemática como epistemología del
aprendizaje matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1. Límites de la presente reseña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2. Aún más sobre la terminología.
¿Por qué buscar una teoría? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.3. Hacia una teoría de la didáctica de la matemática. . . . 81
2.4. Otras interpretaciones de
la didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5. Ulteriores posiciones actuales en la investigación
en didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.6. Educación matemática y didáctica de la matemática:
recientes desarrollos interpretativos . . . . . . . . . . . . . .
108
Capítulo 3
El contrato didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1. Nacimiento de los estudios sobre
el contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 113
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3. Más ejemplos y reflexiones acerca
del contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 123
3.4. Un ulterior ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5. Diferentes acercamientos a la idea
de contrato didáctico . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 128
3.6. El contrato experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Capítulo 4
Conflictos. Misconcepciones. Modelos intuitivos.
Modelos parásitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.1. Algunos ejemplos para introducir
las problemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 137
4.2. Ejemplos con multiplicación y división . . . . . . . . . . . 143
4.3. Ejemplos con suma y resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4. Conflictos “internos” y
conflictos “sociocognitivos”. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 153
Capítulo 5
Imágenes, modelos y esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1 Imágenes y modelos: terminología . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Una propuesta de terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3. Una investigación para buscar un acercamiento
a los modelos mentales de los estudiantes.
Modelos “externos” . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 169
5.4. Modelos adecuados y modelos formados . . . . . . . . . 174
5.5. Modelos normativos y modelos descriptivos . . . . . . 180
5.6. Aún sobre modelos mentales:
una interpretación cognitivista . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 182
5.7. Imágenes, representaciones mentales y modelos:
aún otra interpretación. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 186
5.8. Frame y script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.9. Modelos en el sentido de esquemas . . . . . . . . . . . . . 194
5.10. Mención de la teoría de los conceptos figurales . . . 199
Capítulo 6
Conceptos. Obstáculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.1. Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2. Los conceptos en la enseñanza . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.3. El papel del lenguaje en el aprendizaje
y en la formulación de los conceptos . . . . . . . . . . . .
214
6.4. Las definiciones de concepto
y de esquema dadas por Vergnaud . . . . . . . . . . . . .
218
6.5. Introducción a los obstáculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6. Obstáculos y errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Capítulo 7
El triángulo: maestro, estudiante, saber. Transposición didáctica.
Teoría de las situaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.1. El triángulo: maestro, estudiante, saber . . . . . . . . . . . 231
7.2. Transposición didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3. La teoría de las situaciones didácticas . . . . . . . . . . . . 243
Capítulo 8
Matemática, didáctica de la matemática y lenguajes . . . . . . . . . . 251
8.1. Matemática y lenguaje: una premisa . . . . . . . . . . . . . 251
8.2. Lenguaje y lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.3. El lenguaje de la matemática en el aula . . . . . . . . . . . 258
8.4. Lengua común y lenguaje de la matemática en
oposición entre ellos . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 262
8.5. Otros “lenguajes” para la matemática.
Pasaje entre registros diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Capítulo 9
Ejercicios, problemas, situaciones problemáticas . . . . . . . . . . . . . 293
9.1. Terminología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
9.2. Matemáticos, psicólogos, maestros y …
niños intervienen sobre “problemas”. . . . . . . . . . . . .
297
9.3. La actividad de resolución de problemas . . . . . . . . . 305
Apéndice: Problemas de rutina y situaciones “insólitas”.
El “caso” del volumen de la pirámide . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Capítulo 10
Estilo cognitivo y perfiles pedagógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.1. Cognición y conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.2. Perfiles pedagógicos, estilos cognitivos. . . . . . . . . . . 329
10.3. Reorganización cognitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Capítulo 11
Intuición y demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.1. Intuición: ¿qué es?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.2. Comencemos a hablar de demostración.
¿Demostración de qué? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
11.3. Una muy breve panorámica sobre algunas
investigaciones sobre el demostrar . . . . . . . . . . . . . .
346
11.4. Argumentar y demostrar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.5. Argumentar, explicar, demostrar etc.,
en didáctica de la matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
Capítulo 12
Campos conceptuales, campos de experiencia,
campos semánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.1. Campos conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.2. Campos de experiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
12.3. Campos semánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373
Capítulo 13
Relaciones entre didáctica general y didáctica de la matemática.
Una posible conciliación de puntos de vista. . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.2. Problemas de existencia o de legitimidad . . . . . . . . . 380
13.3. Problemas de epistemología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
13.4. Problemas de formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Apostillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Apostilla 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Apostilla 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
El Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469